離散型隨機變量表(離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量)

編輯導語：“隨機變量”是我們經常會聽到的一個詞，但它具體是什么，它有什么樣的特點？這篇文章為我們仔細講解了“隨機變量”的相關知識，一起學習一下吧。

很久沒有分享一些基礎的理論知識相關的文章了。一方面這種文章大家閱讀意愿低，比較難和實踐結合，沒那么多合適的案例分享；另一方面也是不好寫，各種數(shù)學公式和符號，電腦編輯起來真的是異常艱難。

所以寫完了統(tǒng)計學相關的系列后，就遲遲沒動筆寫新的。不過對于我們數(shù)據從業(yè)人員來講，概率、代數(shù)、統(tǒng)計、算法等相關的知識，還是要盡可能扎實掌握的。（統(tǒng)計學系列傳送：《統(tǒng)計學基礎》、《抽樣分布》、《參數(shù)估計》、《區(qū)間估計》、《假設檢驗》）

今天和大家嘮嘮概率論中很重要的基礎內容：隨機變量的一些基礎概念，主要是離散型和連續(xù)型的區(qū)別，以及各自的分布函數(shù)。

一、隨機變量的基礎概念

先聊聊一些基礎的概念。

1. 隨機變量

設隨機試驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)，則稱X為隨機變量。一般以大寫字母X，Y，Z等表示隨機變量。

關于定義，理解就好。

說白了，我們就是把真實的隨機事件抽象出來，用隨機變量來表示，進行數(shù)字化、抽象化，便于分析。

隨機變量分為兩類：離散型和非離散型。

離散型：若隨機變量X只能取到有限個或者可列個不同值，則稱X為離散型隨機變量。比如抽一張紙牌，一共54張，把這個事件轉化成隨機變量，這個隨機變量的取值最多54個，是有限的。這就是離散型隨機變量。

非離散型：與離散型相對地，非離散型隨機變量指隨機變量有不可列個不同取值的隨機變量。比如人的身高，可以從0厘米到300厘米任取，是無限個取值，因此是非離散型的。

非離散型隨機變量中，有一類特殊的，也是我們主要關注的類型：連續(xù)型隨機變量。連續(xù)型和非離散型并不等同，這點需要注意。

2. 概率分布列與密度函數(shù)

對于離散型隨機變量而言，我們用概率分布列描述概率分布；而對于連續(xù)型隨機變量，我們用概率密度函數(shù)來描述。

以下是離散型隨機變量概率分布列的示意圖：

可以看出來，隨機變量X的有限可列個的，因此可以用上面的表格表示不同X取值時，具體的概率值。

連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)示意圖如下：

下面是常見的連續(xù)型函數(shù)的概率密度示意：

另外，關于連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)還有個性質：

這告訴我們對連續(xù)型隨機變量，其在任意單點處取值的概率為0。這點很重要。因此也可以得到推論：

即在端點上是否取到，不影響整體區(qū)間的概率。

最后，無論是概率分布列還是密度函數(shù)，概率之和（或者面積）都等于1。這是概率的基礎定義。

3. 分布函數(shù)

X是隨機變量，則函數(shù)F(x)=P(X

對于離散型隨機變量，假設P(X=xk)=pk，則分布函數(shù)為：

此時分布函數(shù)為階梯函數(shù)且單調遞增。且函數(shù)值的跳躍發(fā)生在所有xk處，跳躍的幅度為pk。舉個例子，隨機變量X的概率分布列：

根據定義，可以推導出分布函數(shù)為：

對于連續(xù)型隨機變量，假設密度函數(shù)為f(x)，則分布函數(shù)為不定積分：

與離散的情況類似地，分布函數(shù)仍舊具有單調遞增的性質，因為f(x)是概率，一定有f(x)>=0.給個正態(tài)分布的分布函數(shù)示例：

另外，還有性質：

不再展開贅述。

二、離散型隨機變量

下面介紹幾個常見常用的離散型隨機變量的一些特點。

1. 0-1分布:B(1,p)

定義：X的值為一個隨機事件的發(fā)生與否（發(fā)生是1，不發(fā)生是0），這個事件發(fā)生的概率為p。則X服從參數(shù)為1，p的0-1分布，記作X~B(1,p)。其實就是伯努利分布。

概率分布：

這個比較簡單，容易理解，不展開了。本質上是下面的二項分布的取n=1的情況。

2. 二項分布:B(n,p)

定義：X為n次獨立重復隨機事件中發(fā)生的事件數(shù)。這個事件每次發(fā)生的概率都是p。則X~B(n,p)

概率分布：

二項分布的不同參數(shù)下的分布函數(shù)如下：

3. 泊松分布:P(λ)

定義：X為某個隨機事件發(fā)生的次數(shù)，假設每次事件發(fā)生與否相互獨立，且平均事件發(fā)生λ次，則X~P(λ)

概率分布：

泊松分布不同參數(shù)下的分布函數(shù)如下：

這里重點關注泊松分布的平均發(fā)生次數(shù)（即期望值）=λ，而且后面我們將知道，泊松分布的方差也是λ。

4. 幾何分布:G(p)

定義：重復進行隨機事件，直到事件發(fā)生為止才停下。X為首次發(fā)生時共做的事件的次數(shù)。每次發(fā)生的概率均為p，則X~G(p)

概率分布：

這里重點注意X的取值最小是從1開始，而不是0，根據定義可以得出。

三、連續(xù)型隨機變量

第一部分的連續(xù)型隨機變量小圖，給出了很多連續(xù)型隨機變量的示意圖。下面我們針對幾個常見、常用的連續(xù)型隨機變量，進行詳細闡述。

1. 均勻分布:U(a,b)

定義：a

容易理解地，均勻分布的密度在非零處均為常值，并且保證了在R上的積分是1。

分布函數(shù)為：

2. 指數(shù)分布:E(λ)

定義：λ>0，若密度函數(shù)滿足以下，則X~E(λ)

指數(shù)分布可以用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔等等。因此取值時大于0的。

分布函數(shù)為：

3. 正態(tài)分布:N(μ,σ2)

定義：σ>0，若密度函數(shù)滿足以下，則X~N(μ,σ2)

特別的，N(0,1)被稱為標準正態(tài)分布，是我們最常用的分布之一。

這樣的做法的意義在于將求正態(tài)分布概率的過程統(tǒng)一化了。我們現(xiàn)在只需要能求出標準正態(tài)分布的概率即可求出所有不同正態(tài)分布的概率。

關于隨機變量，我們今天只能先介紹這些了，希望大家能有所收獲。

#專欄作家#

NK冬至，公眾號：首席數(shù)據科學家，人人都是產品經理專欄作家。在金融領域、電商領域有豐富數(shù)據及產品經驗。擅長數(shù)據分析、數(shù)據產品等相關內容。

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